Contents
1 Basic Skills 2
1.1 Practice Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Linear Algebra 3
2.1 Matrices and
... [Show More] Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.4 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.5 Multiplication by a scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.6 Multiplication of two matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.7 Motivation for matrix-matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.8 Matrix-vector multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.9 Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.10 Scalar products and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Using determinants to invert a 2 × 2 matrix . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Differentiation and Integration 21
3.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Standard Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 Product rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.4 Chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.5 Quotient rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.6 Stationary points in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.7 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.8 Stationary points in 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.9 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Finding Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Complex Numbers 32
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1 Graphical concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Addition/Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6 Conjugates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.8 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.9 Exponential Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
4.10 Application to waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.10.1 Amplitude and phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.10.2 Complex solution to the wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Error analysis 45
5.1 Plus/Minus Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Propagation of errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Comparison with “worst case” scenario? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 [Show Less]