Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edition By Gerry C and Knight P [Cambridge Solution Manual]
Adil Benmoussa
Solutions
... [Show More] Manual
To
INTRODUCTORY QUANTUM OPTICS
By C. C. Gerry and P. L. Knight
May 15, 2005
Table of Contents
Table of Contents 3
1 Introduction 7
2 Field Quantization 9
2.1 problem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 problem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 problem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 problem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 problem 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 problem 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Problem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Problem 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9 Problem 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Problem 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.11 Problem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Problem 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Problem 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Coherent States 25
3.1 Problem 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Problem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Problem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Problem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Problem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Problem 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Problem 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
4 CONTENTS
3.8 Problem 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.9 Problem 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.10 Problem 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.11 Problem 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.12 Problem 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.13 Problem 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.14 Problem 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Emission and Absorption of Radiation by Atoms 45
4.1 Problem 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Problem 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Problem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Problem 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Problem 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.6 Problem 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Problem 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Problem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.9 Problem 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.10 Problem 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.11 Problem 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.12 Problem 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.13 Problem 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Quantum Coherence Functions 71
5.1 Problem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Problem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Problem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Problem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.5 Problem 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Interferometry 79
6.1 Problem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Problem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Problem 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Problem 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Problem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
CONTENTS 5
6.6 Problem 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.7 Problem 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8 Problem 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.9 Problem 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.10 Problem 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.11 Problem 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Nonclassical Light 91
7.1 Problem 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Problem 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Problem 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Problem 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 Problem 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6 Problem 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7 Problem 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8 Problem 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.9 Problem 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.10 Problem 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.11 Problem 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.12 Problem 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.13 Problem 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.14 Problem 7.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.15 Problem 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.16 Problem 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.17 Problem 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.18 Problem 7.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.19 Problem 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.20 Problem 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8 Dissipative Interactions 129
8.1 Problem 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Problem 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3 Problem 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4 Problem 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5 Problem 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6 Problem 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6 CONTENTS
8.7 Problem 8.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.8 Problem 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9 Optical Test of Quantum Mechanics 139
9.1 Problem 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2 Problem 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3 Problem 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.4 Problem 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 Experiments in Cavity QED and with Trapped Ions 145
10.1 Problem 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Problem 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3 Problem 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.4 Problem 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5 Problem 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6 Problem 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7 Problem 10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11 Applications of Entanglement 153
11.1 Problem 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2 Problem 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.3 Problem 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.4 Problem 11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.5 Problem 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.6 Problem 11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.7 Problem 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.8 Problem 11.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.9 Problem 11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.10Problem 11.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chapter 1
Introduction
7
8 CHAPTER 1. INTRODUCTION
Chapter 2
Field Quantization
2.1 problem 2.1
Eq. (2.5) has the form
Ex(z; t) =
s
2!2
V "0
q(t) sin(kz); (2.1.1)
and Eq. (2.2)
r £ B = ¹0"0
@E
@t
: (2.1.2)
Both equations lead to
¡@zBy = ¹0"0
s
2!2
V "0
q_(t) sin(kz); (2.1.3)
which itself leads to Eq. (2.6)
By(z; t) =
¹0"0
k
s
2!2
V "0
q_(t) cos(kz): (2.1.4)
2.2 problem 2.2
H =
1
2
Z
dV
·
"0E2
x(z; t) +
1
¹0
B2
y (z; t)
¸
: (2.2.1)
9
10 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION
From the previous problem
Ex(z; t) =
s
2!2
V "0
q(t) sin(kz); (2.2.2)
so
"0E2
x(z; t) =
2!2
V
q2(t) sin2(kz): (2.2.3)
Also
By(z; t) =
¹0"0
k
s
2!2
V "0
q_(t) cos(kz); (2.2.4)
and
1
¹0
B2
y (z; t) =
2
V
p2(t) cos2(kz); (2.2.5)
where we have used that c2 = (¹0"0)¡1, p(t) = q_(t), and ck = !. Eq. 2.2.1
becomes then
H =
1
V
Z
dV
£
!2q2(t) sin2(kz) + p2(t) cos2(kz)
¤
: (2.2.6)
Using these simple trigonometric identities cos2 x = 1+cos 2x
2 and sin2 x =
1¡cos 2x
2 , we can simplify equation 2.2.6 further to:
H =
1
2V
Z
dV
£
!2q2(t)(1 + cos 2kz) + p2(t)(1 ¡ cos 2kz)
¤
: (2.2.7)
Because of the periodic boundaries both cosine terms drop out, also 1
V
R
dV =
1 and we end up by
H =
1
2
¡
p2 + w2q2¢
: (2.2.8)
It is easy to see that this Hamiltonian has the form of a simple harmonic
oscillator.
2.3 problem 2.3
Let f be a function de¯ned as:
f(¸) = ei¸ ^ A ^B
e¡i¸A^: (2.3.1)
2.4. PROBLEM 2.4 11
If we expand f as
f(¸) = c0 + c1(i¸) + c2
(i¸)2
2!
+ :::; (2.3.2)
where
c0 = f(0)
c1 = f0(0)
c2 = f00(0) ¢ ¢ ¢
Also
c0 = f(0) = ^B
c1 = f0(0) =
h
^ Aei¸ ^ A ^B
e¡i¸ ^ A ¡ ei¸ ^ A ^B
A^e¡i¸A^
i¯¯¯
¸=0
=
h
^ A; ^B
i
c2 =
h
^B
;
h
^ A; ^B
ii
:
The same way we can determine the other coe±cients.
2.4 problem 2.4
Let
f(x) = e A^xe ^B
x (2.4.1)
df(x)
dx
= A^e A^xe ^B
x + e ^ Ax ^B
e ^B
x
=
³
A^ + e ^ Ax ^B
e¡A^x
´
f(x)
It is easy to prove that
h
^B
;A^n
i
= nA^n¡1
h
^B
;A^
i
(2.4.2)
12 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION
h
^B
; e¡A^x
i
=
X
2
4^B
;
³
¡A^x
´n
n!
3
5
=
X
(¡1)n xn
n!
h
^B
;A^n
i
=
X
(¡1)n xn
(n ¡ 1)!
A^n¡1
h
^B
;A^
i
= ¡e¡A^x
h
^B
;A^
i
x
So
^B
e¡A^x ¡ e¡ ^ Ax ^B
= ¡e¡A^x
h
^B
;A^
i
x
e¡ ^ Ax ^B
e ^ Ax = ^B
¡ e¡A^x
h
^B
;A^
i
x (2.4.3)
e ^ Ax ^B
e¡ ^ Ax = ^B
+ e A^x
h
^ A; ^B
i
x (2.4.4)
Equation 4.1.1 becomes
df(x)
dx
=
³
^ A + ^B
+
h
^ A; ^B
i´
f(x): (2.4.5)
Since
h
^ A; ^B
i
commutes with ^ A and ^B
, we can solve equation 2.4.5 as an
ordinary equation. The solution is simply
f(x) = exp
h³
^ A + ^B
´
x
i
exp
µ
1
2
h
^ A; ^B
i
x2
¶
(2.4.6)
If we take x = 1 we will have
e ^ A+^B
= e A^e ^B
e¡1
2 [ ^ A;^B
] (2.4.7)
2.5 problem 2.5
jª(0)i =
1
p
2
¡
jni + ei'jn + 1i
¢
: (2.5.1)
2.5. PROBLEM 2.5 13
jª(t)i = e¡i
^H
t
~ jª(0)i
=
1
p
2
³
e¡i
^H
t
~ jni + e¡i
^H
t
~ jn + 1i
´
=
1
p
2
¡
e¡in!tjni + ei'e¡i(n+1)!tjn + 1i
¢
;
where we have used E
~ = !
^njª(t)i = ^ay^ajª(t)i
=
1
p
2
¡
e¡in!tnjni + ei'e¡i(n+1)!t(n + 1)jn + 1i
¢
h^ni = hª(t)j^njª(t)i
=
1
2
(n + n + 1)
= n +
1
2
the same way
^n2®
= hª(t)j^n^njª(t)i
=
1
2
¡
n2 + (n + 1)2¢
= n2 + n +
1
2
(¢^n)2®
=
^n2®
¡ h^ni2
=
1
4
^E
jª(t)i = E0 sin(kz)
¡
^ay + ^a
¢
jª(t)i
=
1
p
2
E0 sin(kz)
¡
^ay + ^a
¢ ¡
e¡in!tjni + ei'e¡i(n+1)!tjn + 1i
¢
=
1
p
2
E0 sin(kz)
h
e¡in!t
³p
n + 1jn + 1i +
p
njn ¡ 1i
´
+ ei'e¡i(n+1)!t
³p
n + 2jn + 2i +
p
n + 1jni
´i
14 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION
hª(t)j^E
jª(t)i =
1
2
E0 sin(kz)
³
ei!t
p
n + 1 + ei'e¡i!t
p
n + 1
´
=
p
n + 1E0 sin(kz) cos(' ¡ !t)
D
^E
2
E
= hª(t)j^E
^E
jª(t)i
= 2(n + 1)E2
0 sin2(kz)
¿³
¢^E
´2
À
= (n + 1)E2
0 sin2(kz)
£
2 ¡ cos2(' ¡ !t)
¤
(^ay ¡ ^a)jª(t)i =
1
p
2
h
e¡in!t
³p
n + 1jn + 1i ¡
p
njn ¡ 1i
´
+ ei'e¡i(n+1)!t
³p
n + 2jn + 2i ¡
p
n + 1jni
´i
h(^ay ¡ ^a)i = ¡i
p
n + 1 sin(' ¡ !t)
Finally we have the following quantities
¢n =
1
2
¢E = E0j sin(kz)j
p
2(n + 1) [2 ¡ cos2(' ¡ !t)]
¯¯
h(^ay ¡ ^a)i
¯¯
=
p
n + 1j sin(' ¡ !t)j:
Certainly the inequality in (2.49) holds true since
p
2 (2 ¡ cos2(' ¡ !t)) > j sin(' ¡ !t)j:
2.6 problem 2.6
^X
1 =
1
2
¡
^a + ^ay¢
^X
2 =
1
2i
¡
^a ¡ ^ay¢
^X
2
1 =
1
4
¡
^ay2 + ^a2 + 2^ay^a + 1
¢
^X
2
2 = ¡
1
4
¡
^ay2 + ^a2 ¡ 2^ay^a ¡ 1
¢
2.6. PROBLEM 2.6 15
jª01i = ®j0i + ¯j1i
where j®j2 + j¯j2 = 1. So we can rewrite ¯ =
p
1 ¡ j®j2eiÁ and ®2 = j®j2
without any loss of generality.
D
^X
1
E
01
=
1
2
(®¤¯ + ®¯¤)
D
^X
2
E
01
=
1
2i
(®¤¯ ¡ ®¯¤)
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