Calculus III
Instructor’s Solution Manual
Tunc Geveci
Spring 2011
ii
Contents
11 Vectors 1
11.1 Cartesian Coordinates in 3D and Surfaces . . . .
... [Show More] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
11.2 Vectors in Two and Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
11.3 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 Functions of Several Variables 19
12.1 Tangent Vectors and Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12.2 Acceleration and Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12.3 Real-Valued Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12.4 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12.5 Linear Approximations and the Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
12.6 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
12.7 Directional Derivatives and the Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.8 Local Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12.9 Absolute Extrema and Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13 Multiple Integrals 69
13.1 Double Integrals Over Rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.2 Double Integrals Over Non-Rectangular Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
13.3 Double Integrals in Polar Coordinates: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
13.4 Applications of Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.5 Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13.6 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . 94
14 Vector Analysis 107
14.1 Vector Fields, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14.2 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.3 Line Integrals of Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.4 Parametrized Surfaces and Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14.5 Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14.6 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
14.7 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.8 Gauss’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
iii
iv CONTENTS
Chapter 11
Vectors
11.1 Cartesian Coordinates in 3D and Surfaces [Show Less]