Contents
Contents iii
Introduction 1
1 Review 3
1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... [Show More] 3
1.1.1 Sets and Number Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Law of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 The Quadratic Formula and Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Inequalities, Intervals and Solving Basic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 The Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Solving Inequalities that Contain Absolute Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Distance between Two Points and Midpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.1 Angles and Sectors of Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.2 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Computing Exact Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.5 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Functions 45
2.1 What is a Function? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Transformations and Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Combining Two Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
iii
iv Contents
2.7 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Limits 71
3.1 The Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Computing Limits: Graphically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Computing Limits: Algebraically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 Infinite Limits and Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Vertical Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.2 Horizontal Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4.3 Slant Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.4 End Behaviour and Comparative Growth Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 A Trigonometric Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Derivatives 107
4.1 The Rate of Change of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 The Derivative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.1 Differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.2 Second and Other Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.3 Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Derivative Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Derivative Rules for Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6 Derivatives of Exponential & Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.7 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.8 Derivatives of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.8.1 Derivatives of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.9 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5 Applications of Derivatives 155
5.1 Related Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2 Extrema of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.2 Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.4 Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4.1 Intervals of Increase/Decrease, and the First Derivative Test . . . . . . . . . . . . 176
5.4.2 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4.3 Concavity and Inflection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Contents v
5.4.4 Asymptotes and Other Things to Look For . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.4.5 Summary of Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.5 Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6 Three Dimensions 197
6.1 The Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.5 Lines and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Selected Exercise Answers 223 [Show Less]